벡터(수학)
벡터
벡터는 수학, 물리학, 공학에서 크기와 방향을 갖춘 양을 일컫는다.
유클리드 벡터: 유클리드 공간에서 크기와 방향을 모두 포함하는 기하학적 대상
컴퓨터에서 벡터는 화상의 표현 요소로서의 방향을 지닌 선. 선그림.
컴퓨터에서 벡터는 또한 동적 배열 자료구조를 뜻하기도 한다.
쉽게 말하자면, 벡터란 크기와 더불어 방향을 동시에 표현하는 개념이다. (속도, 힘 등)
두 벡터가 있을 때 위치에 관계없이 크기와 방향이 같으면 두 벡터는 같다고 한다.
점 A에서 점 B로 향하는 벡터가 있다고 할 때, 점 A를 시점, 점 B를 종점이라 한다.
벡터의 길이를 벡터의 크기라 한다.
그리고, 길이가 1인 벡터를 단위벡터, 크기가 0인 벡터를 영벡터라 한다.
단위벡터는 위에 ^기호를 붙이며, 이를 통해 정규화를 할 수 있다.
기호로 나타내면 아래와 같다.
벡터 기호
벡터 길이 기호
영벡터 기호
단위벡터 기호
벡터의 길이(스칼라)
스칼라 (수학): 벡터 공간에서 벡터를 곱할 수 있는 양
선형대수학에서 선형공간을 정의 할 때, 선형공간의 원소와 스칼라 곱을 하는 체의 원소이다.
스칼라의 정의는 N차원 공간에서 N의 0승개의 수로 표현할 수 있는 물리량이다.
좌표계가 변환되어도 그에 따라 변화하지 않는 양이라는 것이다.
쉽게 말하면 우리가 어떠한 척도를 잴때 사용하는 가장 일반적인 개념이라고 생각하면 된다. (양,길이, 크기, 속력등)
벡터의 길이와 그 길이를 구하는 방법에 대해 알아보자
이때, 벡터의 길이는 스칼라 값이라고 한다.
벡터의 길이를 구하는 공식
‖v‖ = √(v02 + v12 + v22 + ... + vn2)
출처: https://kukuta.tistory.com/152
벡터의 정규화
Normalize(정규화)
벡터의 방향은 유지한채 크기가 1인 단위 벡터로 만드는 과정이다.
이렇게 길이가 1이 된 벡터를 단위 벡터라고 부른다.
이런 단위벡터를 사용하는 이유는 벡터에서 순수하게 방향만을 남겨서 사용하기 때문에
두개 이상의 벡터를 연산할때 좀더 쉽고 단순하게 다룰수 있어 사용된다.
vector = 길이(크기) * 단위벡터(방향)
정규화란 벡터를 해당 벡터를 그 크기만큼 나누는 것이다.
출처: https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=edgerider&logNo=221296601764
벡터의 합연산
덧셈 시 각 대응하는 성분의 합을 구한다!
그럼 삼각형모양이 되면서 결과 벡터를 볼 수 있게된다
(칸아카데미 대수와 그래프를 이용한 벡터의 덧셈)
벡터의 곱연산
덧셈과 비슷하게 각 성분에 수를 곱한다!
양수를 곱했을 경우,
결과는 방향은 바뀌지 않고, 크기는 바뀌게된다. (=확대된다)
음수를 곱했을 경우,
결과는 방향이 반대로 바뀌고, 크기는 그만큼 확대된다.
(칸아카데미 스칼라곱)
내적
내적(inner product)
임의의 벡터의 특정 방향을 가진 성분의 크기를 알아내는데 유용하다
두 벡터의 사이각을 알아내는데 유용하다!
내적은 스칼라곱(scalar product) 또는 dot product라고도 말하며, 두 벡터의 크기와 두 벡터 사이의 각의 코사인 값을 곱한것으로 정의한다. (결과는 스칼라양이 나온다)
내적은 교환법칙이 성립한다
외적
외적은 두 벡터에 수직인 벡터를 구한다던지, 한 평면의 법선벡터(수직인벡터)를 구할 때 유용하다.
외적은 벡터곱(vector product) 또는 cross product라고 말하며, 두 벡터의 크기와 두 벡터 사이의 각의 사인값 그리고 수직인 벡터의 곱으로 정의한다. (결과는 벡터값이 나온다)
여기서 an은 A와 B에 서로 수직인 벡터인데, 그 방향은 A에서 B로 오른손으로 감쌀 때 엄지가 가리키는 방향이 된다. 그래서 외적은 내적과는 다르게 3차원 공간에서 정의가 된다.
그림으로 표현하면 아래와 같다.
외적은 교환법칙이 성립하지 않는다. 대신, 방향이 반대로 된다.
칸아카데미보고 예전에 정리해둔거 혹시몰라서 같이냄겨둠(접은글)
유클리디안 벡터(Euclidean vector)
기하학적 벡터(geometric vector)
일반적으로 벡터는 화살표로 표현
화살표가 가리키는 쪽은 방향
화살표의 길이는 크기
PVector를 이용한 프로그래밍
벡터를 생각하는 한 가지 방법은 두 점 사이의 차이입니다.
애니메이션의 각 프레임마다 화면에 있는 객체는 특정 수 픽셀만큼
가로 및 세로로 움직이도록 프로그래밍 합니다.
각 프레임마다 라는 말은 즉, 새로운 위치 = 현 위치에 속도를 적용한 값 이라고 볼 수 있다
두 지점 사이 거리의 차만큼 이동하는 속도를 벡터 라고 볼 수 있다. (위치가 한 점에서 다른 점으로 움직이는 방법)
위치가 한 점에서 다른 점으로 움직이는 방법을 나타내는 것은 아니기 때문입니다.
위치는 단순히 공간 내 한 지점을 나타내는 개념
위치는 위치와 원점 사이의 차이를 표현하는 벡터
아래부턴 해당 링크를 보고 정리함
https://ko.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces
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선형대수학을 위한 벡터란?
벡터는 방향과 속도를 가진다
벡터를 그래프로 표현할때는 시작점은 의미가 없다
크기와 방향이 같으면 같은 벡터라고 볼 수 있음
x축으로 +3, y축으로 +4인 벡터 A를 표현할때 아래와 같이 표현한다
→ [3]
A =[4]
(원래는 두 줄이 한번에 작성되나, 메모장 텍스트로 작성하다보니 두 줄로 나눠서 작성했다)
(대괄호는 저렇게 나눠쓰는게아니다!!)
튜플: 순서가 정해진 숫자들의 리스트
ㄴ 실수로 이루어진 튜플을 사용한다면 실수들의 순서리스트라고 볼 수 있다.
쉽게 말에 위에 표현한 식을 2튜플이라고하는데, 이것의 순서가 바뀌면 전혀 다른 의미가되니
포함된 원소의 순서가 중요하다
R^2(숫자2는 제곱처럼 작게표현함)
ㄴ 2차원 실수좌표공간
ㄴ 숫자는 몇차원인지를 알 수 있다.
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대수와 그래프를 이용한 벡터의 덧셈
덧셈 시 각 대응하는 성분의 합을 구한다!
그럼 삼각형모양이 되면서 결과 벡터를 볼 수 있게된다
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벡터와 스칼라의 곱셈
덧셈과 비슷하게 각 성분에 수를 곱한다!
양수를 곱했을 경우,
결과는 방향은 바뀌지 않고, 크기는 바뀌게된다. (=확대된다)
음수를 곱했을 경우,
결과는 방향이 반대로 바뀌고, 크기는 그만큼 확대된다.